Petitverse

まずは一番簡単な平行移動から
三次元上の座標をx,y,zとして、a,b,cだけ移動させたい場合、
x+a
y+b
z+c
で実現できます。
簡単でしょ？

スケーリング
x,y,zをそれぞれの軸に対してa,b,c倍したい場合、
x*a
y*b
z*c
です。
大体の場合は平行移動と組み合わせられます。

回転の前にベクトルとアフィン変換について。
アフィン変換とは
回転、拡大、縮小、平行移動、反転や、それらを組み合わせたものをアフィン変換といいます。ちなみに、アフィン変換のうち、平行移動を含まないものを線形変換と言ったりします。

ベクトルとは
大きさと向きを持った量です。
矢印をイメージすると分かりやすいと思います。
普通ベクトルは始点が決まってませんが、ある基準点を始点としてやることで、座標として扱うことが出来ます。座標を表すベクトルを位置ベクトルと読んだりします。
逆に、座標から基準点の座標を引くことで、位置ベクトルを求めることも出来たりします。
プログラムでは、ベクトルのxの大きさを表す変数と、yの大きさの変数の2つの変数で表せます。
座標(の差)と同じようなものと考えてもらって問題ないです。

回転について
回転は結構難しいです。
あと、どんな回転をしたいかによって、やるべき内容も変わってきます。

例えば、x軸,y軸,z軸(またはそれに平行な軸)を中心に回転させたいなら、四元数よりも簡単に回転させる方法がありますし、
それ以外のある軸があって、その軸を中心に回転させたいなら、四元数というものをやるのが手っ取り早いです。

回転に入る前に前に確認
累乗(2乗だけで十分)は分かりますか？
三角関数は分かりますか？
分からなくても大丈夫ですが、分かっているなら説明が楽。

座標の変換はベクトルで考えるとすごい簡単です(≧∇≦)b
ベクトルは矢印です。
二次元ベクトルはx方向とy方向の大きさを持った矢印で、
三次元ベクトルはx方向とy方向とz方向の大きさを持った矢印です。

ベクトルは矢印なので根本と先っちょがありますが、根本の位置は気にせず、根本から先っちょまでの大きさだけを考えます。（ただし「位置ベクトル」は根本を原点に置いた状態です。）

単位ベクトルは大きさ１の矢印です。どんな方向を向いていても大きさが１なら単位ベクトルです。
ここで、x軸方向の単位ベクトルi（成分は(1,0))と、y軸方向の単位ベクトルj(成分は(0,1))を考えます。

空間上の点P(x,y)は、単位ベクトルi, jに大きさを掛けて足して、
点P=x*i + y*j
と表せます。

■スケーリングとは
単位ベクトルi, jをそれぞれ4倍にしたベクトルA, B（これは大きさ4なので単位ベクトルではありません）を考えます。先ほどの式のi,jをA,Bに置き換えて、
点P2=x*A + y*B
と変換してみます。点P2の成分は
P2=x*(4,0) + y*(0,4)=(x*4, y*4)
で、点Pの座標を４倍した位置です。これがスケーリングです。

■回転とは
ベクトルi, jをそれぞれ30度だけ回転したベクトルC, Dを考えます。
ベクトルCの成分はベクトルi(1,0)を30度回転したものなので(cos30度, sin30度)、ベクトルDの成分はベクトルj(0,1)を30度回転したものなので(-sin30度、cos30度)になります。（C,Dは大きさ1なので単位ベクトルです。）
先ほどの点Pの式のi,jをC,Dに置き換えて、
点P3=x*C + y*D
と変換してみます。点P3の成分は
P3=x*(cos30度, sin30度) + y*(-sin30度, cos30度)=(x*cos30度-y*sin30度, x*sin30度+y*cos30度)
になります。これが回転です。

結局スケーリングと回転は同じで、点Pの座標を単位ベクトルi, jの合成で表していたものを、別のベクトルの合成におきかえる変換です('ω')

■平行移動とは
(10, 5)の成分を持つベクトルQを考えてみます。
点Pの式にベクトルQを足して、
点P4=x*i + y*j + Q
と変換してみます。点P4の成分は
P4=x*(1,0) + y*(0,1) + (10,5)=(x+10, y+5)
となります。これが平行移動です。

平行移動はスケーリングや回転と違い、単位ベクトルi,jを置き換えるのではなく、単に移動量分のベクトルを足す変換です(*'ω'*)

なお、二次元で説明させて頂きましたが、三次元でもz成分が増えるだけで、基本的には同じです。
ただし、二次元の回転は１種類ですが、三次元の場合ははいろんな軸を中心に回転できます。その場合でも、各軸方向の単位ベクトルを、回転後の単位ベクトルに置き換える、という考え方は変わりません(≧∇≦)b