最初の問題だと、例えばp=2,m=1,n=1,q=3とすると
A=1のときnA=1をq=3で割ったあまりは1
A=3のときnA=3をq=3で割ったあまりは0
A=5のときnA=5をq=3で割ったあまりは2
のように、答えが1つに定まりません。
2つ目の問題でも例えばp=2,m=1,q=3とすると
A=1のときpA=2をq=3で割ったあまりは2
A=3のときpA=6をq=3で割ったあまりは0
A=5のときpA=10をq=3で割ったあまりは1
のように複数の答えができます。
さらに考えると、2つ目の問題においてpA=kp^2+mpと表せて(kは未知)
p,qが互いに素より mp, p^2+mp, 2p^2+mp, ..., (q-1)p^2+mp をqで割った余りはすべて異なるので、
余りはq通り、つまり 0, 1, 2, ..., q-1 が答えになります。
あと「乗余」ではなく「剰余」だと思います。