プッシュ通知はコードを数行書けば実現出来るってわけではないのできびしいかも。
ちなみに実現する方法としては service worker という仕組みを使う必要があって、https で動いてないといけないという前提も(petitverseは httpで、httpsにするのはいろいろたいへん)
プッシュ通知のしくみとしてはこんな感じで、プッシュ通知用のサーバがさらに必要。(自分でプッシュ通知サーバ立てるのはちょっとたいへん)
https://ajike.github.io/how-pwa-push-works/webページがプッシュ通知とかオフラインで動作したりとかするしくみは「PWA」といわれていて、この辺のリンクからいろいろ情報はわかるかも。
https://qiita.com/bunty/items/a0dc2d6b3986dd1c5a73webってここ数年でいろいろ技術が出てきたりブラウザが対応したり消えていったりしているけど、javascript周りのweb技術は知っておいても損は無い感じです。
(ただしBASICとは書き方も呼ばれ方も違う感じの言語なので慣れるのはすごい大変)